곡선의 접선 방정식 구하는 3가지 방법 비교

 

1. 미분을 이용한 접선 방정식 구하기

미분을 활용한 접선 방정식 구하기는 가장 일반적이고 널리 사용되는 방법입니다. 접선은 주어진 점에서 곡선의 기울기와 일치하는 직선이므로, 먼저 곡선의 도함수를 구하여 그 점에서의 기울기를 알아낸 후, 점-기울기 방정식을 사용하여 접선 방정식을 구합니다.

미분을 이용한 접선 구하는 과정:

1. 주어진 함수 f(x)f(x)f(x)의 도함수 f′(x)f'(x)f′(x)를 구합니다.
2. 접선이 구해질 점 x0x_0x0​에서 함수의 기울기를 계산합니다: m=f′(x0)m = f'(x_0)m=f′(x0​).
3. 접선의 방정식을 점-기울기 방정식에 대입하여 구합니다. 접선의 방정식은 다음과 같습니다:

y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)y−y0​=m(x−x0​)

여기서 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​)는 접점의 좌표입니다.

예시:

함수 y=x2y = x^2y=x2에서 x=1x = 1x=1에서 접선을 구한다고 할 때:

1. 도함수는 f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x.
2. 기울기는 m=f′(1)=2m = f'(1) = 2m=f′(1)=2.
3. 접선 방정식은 y−1=2(x−1)y - 1 = 2(x - 1)y−1=2(x−1), 즉 y=2x−1y = 2x - 1y=2x−1.

이 방법은 대부분의 함수에 대해 사용할 수 있는 직관적이고 효율적인 방법입니다.

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2. 점과 기울기를 이용한 접선 방정식 구하기

점과 기울기를 이용한 방법은 미분을 이용한 방법과 매우 유사하지만, 주어진 점에서 기울기를 이미 알고 있는 경우 사용합니다. 이 방법은 일반적으로 기울기가 주어지고, 그 기울기를 이용해 접선 방정식을 구할 때 사용됩니다. 예를 들어, 미분이 어려운 함수나 파라메트릭 방정식에서 유용할 수 있습니다.

점과 기울기를 이용한 접선 구하는 과정:

1. 접선의 기울기 mmm와 접점을 (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​)로 설정합니다.
2. 점-기울기 방정식을 사용하여 접선의 방정식을 구합니다:

y−y0=m(x−x0)y - y_0 = m(x - x_0)y−y0​=m(x−x0​)

여기서 mmm은 접선의 기울기이고, (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​)는 접점입니다.

예시:

기울기 m=3m = 3m=3이고 접점이 (1,2)(1, 2)(1,2)일 때 접선 방정식은:

y−2=3(x−1)y - 2 = 3(x - 1)y−2=3(x−1)

따라서 y=3x−1y = 3x - 1y=3x−1이 됩니다.

이 방법은 기울기가 이미 알려져 있을 때 매우 유용한 방법입니다.

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3. 파라메트릭 방정식을 이용한 접선 방정식 구하기

파라메트릭 방정식을 이용한 방법은 곡선이 파라메트릭 형태로 주어졌을 때 접선의 방정식을 구하는 방법입니다. 이 방법은 보통 위치 벡터나 매개변수화된 함수로 정의된 곡선에서 사용됩니다.

파라메트릭 방정식을 이용한 접선 구하는 과정:

1. 주어진 파라메트릭 방정식 x=x(t),y=y(t)x = x(t), y = y(t)x=x(t),y=y(t)에서 t0t_0t0​에서의 값에 대해 x′(t0)x'(t_0)x′(t0​)와 y′(t0)y'(t_0)y′(t0​)를 구합니다.
2. 접선의 기울기는 m=y′(t0)x′(t0)m = \frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}m=x′(t0​)y′(t0​)​로 계산합니다.
3. (x0,y0)(x_0, y_0)(x0​,y0​)는 t0t_0t0​에서의 값입니다.
4. 점-기울기 방정식을 사용하여 접선 방정식을 구합니다.

예시:

파라메트릭 방정식 x=t2x = t^2x=t2, y=t3y = t^3y=t3에서 t=1t = 1t=1일 때의 접선을 구한다고 할 때:

1. x′(t)=2tx'(t) = 2tx′(t)=2t, y′(t)=3t2y'(t) = 3t^2y′(t)=3t2.
2. t=1t = 1t=1일 때 m=3(1)22(1)=32m = \frac{3(1)^2}{2(1)} = \frac{3}{2}m=2(1)3(1)2​=23​.
3. 접점은 x(1)=12=1x(1) = 1^2 = 1x(1)=12=1, y(1)=13=1y(1) = 1^3 = 1y(1)=13=1입니다.
4. 점-기울기 방정식을 사용하여 접선 방정식은 y−1=32(x−1)y - 1 = \frac{3}{2}(x - 1)y−1=23​(x−1)입니다. 즉, y=32x−12y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}y=23​x−21​.

이 방법은 파라메트릭 방정식으로 정의된 곡선에 대해 유용합니다.

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4. 비교 및 결론

위에서 소개한 세 가지 방법은 각기 다른 상황에서 유용하게 사용됩니다. 각 방법의 장단점을 비교해보면 다음과 같습니다:

1. 미분을 이용한 방법:
   • 장점: 대부분의 함수에 대해 적용 가능하고 직관적입니다.
   • 단점: 미분이 어려운 함수에서는 사용하기 힘듭니다.
2. 점과 기울기를 이용한 방법:
   • 장점: 기울기가 이미 주어진 경우 빠르고 쉽게 구할 수 있습니다.
   • 단점: 기울기를 미리 알아야만 사용 가능합니다.
3. 파라메트릭 방정식을 이용한 방법:
   • 장점: 파라메트릭 방정식으로 주어진 곡선에 대해 유용합니다.
   • 단점: 파라메트릭 방정식이 주어져야 하므로, 그 자체가 제한적일 수 있습니다.

이 세 가지 방법을 상황에 맞게 사용하면 곡선의 접선 방정식을 효과적으로 구할 수 있습니다.