편미분(Partial Derivatives)과 다변수 함수의 미분: 완벽 가이드
다변수 함수를 다루는 데 있어 필수적인 도구인 편미분은 고급 수학, 물리학, 공학, 경제학 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 합니다. 이 글에서는 편미분의 기본 개념부터 응용까지 체계적으로 알아보겠습니다.
목차
- 편미분이란 무엇인가?
- 편미분의 수학적 정의와 표기법
- 편미분 계산 방법과 예시
- 고차 편미분
- 전미분과 편미분의 관계
- 그래디언트(Gradient)와 방향도함수
- 편미분의 응용
- 다변수 함수의 극값 찾기
- 라그랑주 승수법(Lagrange Multipliers)
- 결론
편미분이란 무엇인가?
편미분(Partial Derivative)은 다변수 함수에서 한 변수에 대해서만 미분을 수행하고 나머지 변수는 상수로 취급하는 연산입니다. 일변수 함수의 미분이 함수의 변화율을 측정하듯, 편미분은 다변수 함수에서 특정 변수에 대한 변화율을 측정합니다.
예를 들어, 두 변수 $x$와 $y$의 함수 $f(x, y)$가 있을 때:
- $x$에 대한 편미분은 $y$를 상수로 고정시킨 채 $x$에 대해서만 미분합니다.
- $y$에 대한 편미분은 $x$를 상수로 고정시킨 채 $y$에 대해서만 미분합니다.
이러한 접근 방식은 복잡한 다변수 함수를 분석할 때 각 변수가 함수에 미치는 영향을 개별적으로 이해하는 데 도움을 줍니다.
편미분의 수학적 정의와 표기법
수학적 정의
함수 $f(x, y)$의 $x$에 대한 편미분은 다음과 같이 정의됩니다:
∂f∂x=limh→0f(x+h,y)−f(x,y)h\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}
즉, $y$를 고정하고 $x$만 변화시켜 미분을 계산합니다.
마찬가지로, $y$에 대한 편미분은:
∂f∂y=limh→0f(x,y+h)−f(x,y)h\frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x, y)}{h}
표기법
편미분에는 여러 표기법이 있습니다:
- 라이프니츠 표기법(Leibniz notation):
- $\frac{\partial f}{\partial x}$ 또는 $\frac{\partial}{\partial x}f(x, y)$
- $\frac{\partial f}{\partial y}$ 또는 $\frac{\partial}{\partial y}f(x, y)$
- 첨자 표기법:
- $f_x$ 또는 $f_x(x, y)$
- $f_y$ 또는 $f_y(x, y)$
- 편미분 연산자:
- $\partial_x f$ 또는 $\partial_x f(x, y)$
- $\partial_y f$ 또는 $\partial_y f(x, y)$
편미분 계산 방법과 예시
기본 계산 방법
편미분을 계산할 때는 미분하려는 변수를 제외한 다른 모든 변수를 상수로 취급합니다. 그리고 일반적인 미분 법칙(상수 법칙, 덧셈 법칙, 곱셈 법칙, 연쇄 법칙 등)을 적용합니다.
예시 1: $f(x, y) = x^2y + 3xy^3$
$x$에 대한 편미분: $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y + 3xy^3) = 2xy + 3y^3$
$y$에 대한 편미분: $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2y + 3xy^3) = x^2 + 9xy^2$
예시 2: $f(x, y, z) = e^{xy}sin(yz)$
$x$에 대한 편미분: $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}sin(yz)) = ye^{xy}sin(yz)$
$y$에 대한 편미분: $\frac{\partial f}{\partial y} = xe^{xy}sin(yz) + e^{xy}zcos(yz)$
$z$에 대한 편미분: $\frac{\partial f}{\partial z} = e^{xy}ycos(yz)$
고차 편미분
첫 번째 편미분을 다시 미분하면 고차 편미분(Higher-order partial derivatives)을 얻을 수 있습니다.
혼합 편미분
함수 $f(x, y)$에 대해:
- $f_{xx}$ 또는 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$: $x$에 대해 두 번 편미분
- $f_{yy}$ 또는 $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$: $y$에 대해 두 번 편미분
- $f_{xy}$ 또는 $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$: 먼저 $x$에 대해, 그 다음 $y$에 대해 편미분
- $f_{yx}$ 또는 $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$: 먼저 $y$에 대해, 그 다음 $x$에 대해 편미분
클레로의 정리(Clairaut's Theorem)
충분히 매끄러운 함수에 대해 혼합 편미분의 순서는 중요하지 않습니다:
∂2f∂x∂y=∂2f∂y∂x\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}
이는 $f_{xy} = f_{yx}$를 의미합니다.
예시: $f(x, y) = x^3y^2 + xy$
$f_x = 3x^2y^2 + y$ $f_y = 2x^3y + x$
이제 혼합 편미분을 계산해봅시다: $f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(f_x) = \frac{\partial}{\partial y}(3x^2y^2 + y) = 6x^2y + 1$ $f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}(f_y) = \frac{\partial}{\partial x}(2x^3y + x) = 6x^2y + 1$
클레로의 정리에 따라 $f_{xy} = f_{yx}$ 임을 확인할 수 있습니다.
전미분과 편미분의 관계
전미분(Total differential)은 모든 변수의 변화를 동시에 고려하는 미분입니다. 함수 $f(x, y)$의 전미분은 편미분을 사용하여 다음과 같이 표현됩니다:
df=∂f∂xdx+∂f∂ydydf = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy
일반적으로 $n$개 변수를 가진 함수 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$의 전미분은:
df=∂f∂x1dx1+∂f∂x2dx2+...+∂f∂xndxn=∑i=1n∂f∂xidxidf = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + ... + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i
연쇄 법칙
복합 함수 $f(g(t), h(t))$에 대한 연쇄 법칙은 다음과 같이 표현됩니다:
dfdt=∂f∂gdgdt+∂f∂hdhdt\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial g}\frac{dg}{dt} + \frac{\partial f}{\partial h}\frac{dh}{dt}
그래디언트(Gradient)와 방향도함수
그래디언트
함수 $f(x, y, z)$의 그래디언트는 각 변수에 대한 편미분을 성분으로 갖는 벡터입니다:
∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
방향도함수
방향도함수(Directional derivative)는 특정 방향으로의 함수의 변화율을 측정합니다. 단위 벡터 $\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3)$ 방향으로의 방향도함수는:
Duf=∇f⋅u=∂f∂xu1+∂f∂yu2+∂f∂zu3D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = \frac{\partial f}{\partial x}u_1 + \frac{\partial f}{\partial y}u_2 + \frac{\partial f}{\partial z}u_3
그래디언트 벡터는 함수의 가장 가파른 증가 방향을 가리키며, 그 크기는 그 방향으로의 변화율입니다.
편미분의 응용
물리학에서의 응용
- 열전도 방정식: 온도 $T(x, y, z, t)$의 시간과 공간에 대한 변화는 편미분 방정식으로 표현됩니다. ∂T∂t=α(∂2T∂x2+∂2T∂y2+∂2T∂z2)\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \left(\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}\right)
- 파동 방정식: 음파, 전자기파 등의 전파를 기술합니다. ∂2u∂t2=c2∇2u\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u
공학에서의 응용
- 유체역학: 유체의 속도, 압력, 밀도는 편미분 방정식으로 표현되는 나비에-스토크스 방정식을 따릅니다.
- 구조해석: 구조물의 변형과 응력 분석에 편미분이 사용됩니다.
경제학에서의 응용
- 한계 효용: 소비자 효용 함수 $U(x, y)$에서 재화 $x$에 대한 한계 효용은 $\frac{\partial U}{\partial x}$로 표현됩니다.
- 생산함수: 생산함수 $f(K, L)$에서 자본 $K$와 노동 $L$에 대한 한계 생산성은 각각 $\frac{\partial f}{\partial K}$와 $\frac{\partial f}{\partial L}$입니다.
다변수 함수의 극값 찾기
임계점
함수 $f(x, y)$의 임계점(critical point)은 그래디언트가 영벡터인 점, 즉 다음을 만족하는 점 $(a, b)$입니다:
∂f∂x(a,b)=0,∂f∂y(a,b)=0\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) = 0, \frac{\partial f}{\partial y}(a, b) = 0