함수의 불연속점 유형과 예제 분석

함수의 불연속점 유형과 예제 분석

1. 함수의 불연속성이란?

함수의 그래프가 특정한 점에서 끊어지거나 점프하는 경우, 해당 점에서 함수는 불연속(discontinuous) 하다고 합니다. 불연속점은 크게 제거 가능 불연속(Removable Discontinuity), 점프 불연속(Jump Discontinuity), 무한 불연속(Infinite Discontinuity) 세 가지 유형으로 나눌 수 있습니다.

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2. 불연속점 유형과 예제 분석

(1) 제거 가능 불연속 (Removable Discontinuity)

정의:

• 한 점에서 함수가 정의되지 않거나 잘못 정의되어 있지만, 함수 값을 재정의하면 연속이 될 수 있는 경우입니다.
• 즉, 좌극한과 우극한이 같지만, 함수값이 다르거나 존재하지 않는 경우입니다.

예제 1:

f(x)=x2−1x−1 f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

• 이 함수는 x=1x = 1에서 정의되지 않습니다.
• 다항식을 인수분해하면 f(x)=(x−1)(x+1)x−1f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}로 변형 가능하며, x≠1x \neq 1에서는 f(x)=x+1f(x) = x + 1과 동일합니다.
• 좌극한과 우극한: lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1+f(x)=2\lim_{{x \to 1^-}} f(x) = \lim_{{x \to 1^+}} f(x) = 2
• 따라서 x=1x = 1에서 f(x)=2f(x) = 2로 정의하면 연속 함수가 됩니다.

그래프 특징: 함수 그래프에서 특정 점에 구멍이 있는 형태입니다.

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(2) 점프 불연속 (Jump Discontinuity)

정의:

• 좌극한과 우극한이 다를 때 발생하는 불연속입니다.
• 함수값이 두 극한값 사이에서 '점프'하는 형태를 가집니다.

예제 2:

f(x)={1,x<23,x≥2 f(x) = \begin{cases} 1, & x < 2 \\ 3, & x \geq 2 \end{cases}

• 좌극한과 우극한: lim⁡x→2−f(x)=1,lim⁡x→2+f(x)=3\lim_{{x \to 2^-}} f(x) = 1, \quad \lim_{{x \to 2^+}} f(x) = 3
• lim⁡x→2−f(x)≠lim⁡x→2+f(x)\lim_{{x \to 2^-}} f(x) \neq \lim_{{x \to 2^+}} f(x) 이므로 점프 불연속이 발생합니다.

그래프 특징: 함수가 특정 점에서 위나 아래로 점프하는 형태입니다.

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(3) 무한 불연속 (Infinite Discontinuity)

정의:

• 함수가 특정한 점에서 무한대로 발산하는 경우입니다.
• 분모가 0이 되어 극한값이 무한대로 치솟거나 감소하는 경우가 이에 해당합니다.

예제 3:

f(x)=1x−3 f(x) = \frac{1}{x - 3}

• x=3x = 3에서 분모가 0이 되므로 해당 점에서 무한 불연속이 발생합니다.
• 좌극한과 우극한: lim⁡x→3−f(x)=−∞,lim⁡x→3+f(x)=+∞\lim_{{x \to 3^-}} f(x) = -\infty, \quad \lim_{{x \to 3^+}} f(x) = +\infty
• 극한값이 서로 다르고 무한대로 발산하므로 무한 불연속이 발생합니다.

그래프 특징: 특정 점에서 수직선(점근선)을 따라 발산하는 형태입니다.

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3. 불연속 유형 정리

유형 좌극한과 우극한 함수값 그래프 특징

제거 가능 불연속	같음	다르거나 정의되지 않음	구멍 (hole)
점프 불연속	다름	정의됨	점프 (discontinuous step)
무한 불연속	무한 발산	정의되지 않음	점근선 (asymptote)

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4. 결론

함수의 불연속점은 AP Calculus에서 중요한 개념으로, 함수의 연속성 분석과 미분 가능성 판별에 필수적입니다. 각 불연속 유형을 정확히 이해하고, 그래프를 분석하는 연습을 통해 실전에 대비하는 것이 중요합니다!